Archiv rubriky: Geometrie

Osová afinita – (One-way Stretch)

Osová afinita je zobrzení, které zachovává poměr délek, odpovídající si body leží na přímce rovnoběžné se směrem afinity, odpovídající přímky se protínají na ose afinty. Body osy jsou samodružné. Osová afinita je dána osou afinity, směrem a koeficientem. Osová afinita je speciálním případem středové kolineace, kdy střed kolineace je v nekonečnu, naopak speciálním případem osové afinity je například osová souměrnost. Kružnice se v osové afinitě zobrazí jako elipsa.

Aplet zobrazuje kružnici v osové afinitě, kdy je směr afinity kolmý k ose afinity.

Značení:
o … osa afinity
k … koeficient
r … poloměr kružnice
SAP … vzor
S‘A‘P‘ … obraz

Proměnné objekty: rkSPA

Osová afinita může být určena také osou a dvojicí odpovídajících si bodů.

Značení:
o … osa afinity
ABC … vzor
A‘B‘C‘ … obraz
IIIIII … samodružné body

Proměnné objekty: ABCA‘

Kružnice trojúhelníku připsané – (Bevan Circles)

Kružnice trojúhelníku připsané, jsou takové kružnice, které se dotýkají jedné strany trojúhelníku a dalčích dvou přímek na kterých leží zbylé strany trojúhelníku a to tak, že připsané kružnice leží vně trojúhelníku. Stejně jako kružnici vepsanou je sestrojíme pomocí os úhlů.

Aplet zobrazuje kružnice připsané libovolnému torjúhelníku.

Kružnice samodružná v kruhové inverzi – (Invariant Circle of Inversion)

Základní kružnice z kruhové inverze je jediná kružnice, která je v kruhové inverzi bodově samodružná (každý její bod je samodružný). Dále každá kružnice k, která základní kružnici z protíná pod pravým úhlem, je samodružná. Pokud tato podmínka platí a sestrojíme-li ke kružnici k tečny za setředu základní kružnice z, pak dotykové body leží na základní kružnici z, jsou tedy samodružné a tečny procházející středem základní kružnice jsou také samodružné. Kruhová inverze zachovává úhly a proto i obě tečny se budou v samodružných dotykových bodech dotýkat i obrazu k‘ kružnice k. Kružnice je jednoznačně definována dvěma body a tečnou v alespoň jednom z nich a proto je k‘ totožná s k. Pokud se na přímku budeme dívat jako na kružnici s nekonečně velkým poloměrem, pak také platí: pokud přímka protíná kružnici pod pravým úhlem (t.j. prochází jejím středem), pak je samodružná.

Aplet zobrazuje kružnici samodružnou v kruhové inverzi. Všiměte si, že neexistuje samodružná kružnice, která by měla střed uvnitř základní kružnice kruhové inverze. Kružnice je jednoznačně dána polohou středu O.

Značení:
z(Sr) … základní kružnice kruhové inverze
kO … vzor
k‘ … obraz
T1T2 … dotykové body

Proměnné objekty: O

Konstrukce sedmnáctiúhelníku – (Constructing Heptadecagon)

Pravidelný sedmnáctiúhelník má 17 os souměrnosti a jeden střed souměrnosti. Jeho konstrukce je již složitější a proto ji nebudeme popisovat slovně ale jen ji znázorníme pomocí apletu. Konstrukci objevil roku 1796 tehdy devatenáctiletý Carl Friedrich Gauss

Aplet zobrazuje krokovanou konstrukci pravidelného sdmnáctiúhelníku. V konstrukci je pár kroků, které nemusejí být z apletu vidět:
|SJ| = |SB| / 4
|<SJE| = |<SJP1| / 4
Bod K vznikne jako průsečík kružnice nad průměrem FP1 a úsečky SB.
Bodem vedem kružnici se středem E.

Konstrukce pětiúhelníku – (Constructing Pentagon)

Pravidelný pětiúhleník má 5 os souměrnosti a jeden střed souměrnosti. Je-li dána kružnice pětiúhelníku opsaná a její střed S, pak zvolíme na kružnici bod P a sestrojíme střed O úsečky SP. Dále sestrojíme bod A na kružnici tak, že úhel ASP je pravý. Bodem Avedeme kružnici se středem O a sestrojíme její průsečík B‘ s přímkou SP. Strana pravidelného pětiúhleníka má délku |AB‘|, nanášením délky na zedanou kružnici, pak sestrojíme celý desetiúhleník. Všimněme si, že |SB‘| je délka strany pravidelného desetiúhelníku a |SA| je délka strany pravidelného šestiúhelníku, tojúhelník ASB‘ je pravoúhlý a podle pythagorovy věty platí d2 + s2p2, kde psd jsou po řadě délky stran pravidelného pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku.

Aplet zobrazuje krokovanou konstrukci pravidelného pětiúhleníku.

Konstrukce elipsy ritzova – (Constructing Ellipse)

Ritzova konstrukce umožňuje sestrojení elipsy, jsou-li dány její dva sdružené průměry KLMN. Označíme S střed elipsy a sestrojíme bod R, tak že |SR| = |SK| a úhel KSR je pravý. Body RM vedeme přímku a sestrojíme střed O úsečky RM. Bodem Spak vedeme kružnici se středem O a její průsečíky s přímkou RM označíme UV. Na přímkách SV a SU leží hlavní a vedlejší poloosy elipsy. Délka hlavní poloosy a = |MV| = |RU|, délka vedlejší poloosy b = |RV| = |MU|.

Aplet zobrazuje krokovanou ritzovu konstrukci elipsy.

Konstrukce desetiúhelníku – (Constructing Decagon)

Pravidelný desetiúhelník má 10 os souměrnosti a jeden střed souměrnosti. Je-li dána kružnice desetiúhelníku opsaná a její střed S, pak zvolíme na kružnici bod P a sestrojíme střed O úsečky SP. Dále sestrojíme bod A na kružnici tak, že úhel ASP je pravý. Bodem A vedeme kružnici se středem O a sestrojíme její průsečík B‘ s přímkou SP. Strana pravidelného desetiúhelníka má délku |SB‘|, nanášením délky na zadanou kružnici, pak sestrojíme celý desetiúhelník. Všimněme si, že |AB‘| je délka strany pravidelného pětiúhelníku a |SA| je délka strany pravidelného šestiúhelníku, trojúhelník ASB‘ je pravoúhlý a podle pythagorovy věty platí d2 + s2 =p2, kde psd jsou pořadě délky stran pravidelného pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku. Dalším zajímavým faktem je, že délka strany desetiúhelníku je větším dílem poloměru kružnice rozděleného v poměru zlatého řezu.

Aplet zobrazuje krokovanou konstrukci pravidelného desetiúhelníku.